\documentclass{foils}%{article}
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\newcommand{\xM}[2]{
\multicolumn{#1}{c}{$\omega$=#2}
}
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\newcolumntype{.}{D{.}{.}{2}}
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%%\textwidth 16cm
\begin{document}
\parindent 0pt
Diskretisiert man die  Aufgabe 
{\small
\begin{eqnarray*}
 -\Delta u(x_1,x_2) &=& f(x_1,x_2) \ , \qquad (x_1,x_2)\in (0,1)^2\\
u(x_1,x_2) &=& 0 \ ,\qquad \qquad (x_1,x_2)\in \partial((0,1)^2)
\end{eqnarray*}
}
mit dem Stern
{\small
\begin{eqnarray*}
  -\Delta u \approx \frac{1}{h^2}\left[  \begin{array}{ccc}
                    & -1 & \\
                  -1 & 4 & -1 \\
                   & -1 & 
                   	\end{array} \right] u
\end{eqnarray*}%
}%
so entsteht mit  $h=1/N$ 
für $N=2^p,
p=2,3,...$ und {\em zeilenweiser} Numerierung der Unbekannten $x_{ij}
\approx
u(x(i*h_x,j*h_y)), \ i,j=1,...,N-1$  erhält man ein lineares 
Gleichungssystem \fbox{$Ax=b$} mit dünnbesetzter, symmetrisch, 
positiv definiter Matrix. \\ 
\begin{table}[H]\begin{center}\fbox{\begin{tabular}{r|r|r|r|r}
N  & dim & nz    & \%   & voll \\\hline
4  &  9  & 33    &40.7  &  81  \\
8  & 49  & 217   &9     &2401  \\
16 &225  & 1065  &2.1   & 50625\\
32 &961  & 4681  &0.1   &913911\\
64 &3969 & 19593 &6.3-10&15752961\\
\end{tabular}}\end{center}\caption{Dimension und
Speicherbedarf\label{Dimensionen}}
\end{table}
\newpage

Die Struktur (bei dieser Numerierung) und die Dünnbesetztheit sieht man an 
folgenden Bildern der Matrizen für $n=4,8,16$ mit 
Dimensionen $9 \times 9,49 \times 49,225 \times 225$. 
\begin{table}[H]\begin{center}
\includegraphics[width=.3\textwidth]{x_4.png}
\hfill
\includegraphics[width=.3\textwidth]{x_8.png}
\hfill
\includegraphics[width=.3\textwidth]{x_16.png}
\end{center}\caption{Dünnbesetztheit der Matrizen\label{Bilder}}
\end{table}
Die Form kann durch verschiedene Umordnungs-Algorithmen (oder
Numerierungen) verändert werden.
\begin{table}[H]\begin{center}
\includegraphics[width=.3\textwidth]{x_16_colperm.png}
\hfill
\includegraphics[width=.3\textwidth]{x_16_symmmd.png}
\hfill
\includegraphics[width=.3\textwidth]{x_16_symrcm.png}
\end{center}\caption{Umnumerierung}
\end{table}


\end{document}