Diskretisiert man die Aufgabe

−Δu(x_{1}, x_{2}) = f(x_{1}, x_{2}) ,  (x_{1}, x_{2}) ∈ (0, 1)^{2}
u(x_{1}, x_{2}) = 0 ,  (x_{1}, x_{2}) ∈ ∂((0, 1)^{2})

mit dem Stern

−Δu ≈ \frac{1}{h^{2}} [ \begin{matrix}& −1 \\ −1 & 4 & −1 \\ & −1 \end{matrix} ] u

so entsteht mit h = 1/N für N = 2^{p}, p = 2, 3, ... und zeilenweiser Numerierung der Unbekannten x_{ij} ≈ u(x(i ∗ h_{x}, j ∗ h_{y})), i, j = 1, ..., N − 1 erhält man ein lineares Gleichungssystem Ax = b mit dünnbesetzter, symmetrisch, positiv definiter Matrix.

N dim  nz  %  voll
4  9  33 40.7  81
8  49  217  9  2401
16 225 1065  2.1  50625
32 961 4681  0.1  913911
64 3969 19593 6.3-10 15752961

Tabelle 1: Dimension und Speicherbedarf Die Struktur (bei dieser Numerierung) und die Dünnbesetztheit sieht man an folgenden Bildern der Matrizen für n = 4, 8, 16 mit Dimensionen 9×9, 49×49, 225×225.

Tabelle 2: Dünnbesetztheit der Matrizen

Die Form kann durch verschiedene Umordnungs-Algorithmen (oder Numerierungen) verändert werden.

Tabelle 3: Umnumerierung