Seillinie (Kettenlinie)

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1 Seillinie (Kettenlinie)

Figure Figure 1: Versuch mit Federwaage

Die Federwaage hält das Seil (Kette), indem in Richtung der Tangente im Punkt

x

gezogen wird. Damit gilt für Ableitung der Funktion

y (x)

, die die Form der Seillinie angibt, dass sie proportional zum Gewicht des Seils (bis zum Punkt

x

) ist. Bezeichnet

s

die Länge des Seils vom Nullpunkt bis zur Stelle

x

m

das spezifische Gewicht des Seils, so gilt:

y^{'} (t) = k s m g

(mit einer Konstanten

k

und der Erdbeschleunigung

g

.)
Für die Bogenlänge

s (x)

der Kurve

(\begin{matrix} x \\ y (x) \end{matrix})

von

0

bis

x

gilt:

s (x) = \int_{0}^{x} ∥ {(\begin{matrix} x \\ y (x) \end{matrix})}^{'} ∥ dx = \int_{0}^{x} \sqrt{1 + (y^{'} (x {))}^{2}} dx .

Also

y^{'} (x) = k m g \int_{0}^{x} \sqrt{1 + (y' (x {))}^{2}} dx = c \int_{0}^{x} \sqrt{1 + (y^{'} (x {))}^{2}} dx

Nach dem Differenzieren nach

x

erhalten wir

y^{''} (x) = c \sqrt{1 + (y^{'} (x {))}^{2}}

und mit

z (x) : = y^{'} (x)

z^{'} (x) = c \sqrt{1 + (z (x {))}^{2}} .

Mit der Methode der Trennung der Variablen erhalten wir

\frac{dz}{\sqrt{1 + (z (x {))}^{2}}} = c dx

und nach Integration

arcsinh z = c x + c_{0}

bzw.

z = sinh (c x + c_{0})

und damit

y = \frac{1}{c} cosh (c x + c_{0}) + c_{1}

mit den beiden Integrationskonstanten

c_{0}

und

c_{1}

Mit

c_{0} = c_{1} = - 1

und

c = 1

hat das Seil (

\cosh (x)

im Intervall

[- 1, 1]

) die folgende Form:

Figure Figure 2: Seillinie (x) und Parabel im Intervall

[- 1, 1]

Zum Vergleich ist in dieser Grafik als durchgezogene Kurve eine Parabel eingezeichnet, die die Seillinie in den drei Punkten

(- 1, \cosh (- 1)), (0, 1)

und

(1, \cosh (1)

interpoliert.
Je grösser der Definitionsbereich ist, umso mehr unterscheidet sich die Seillinie von der entsprechend interpolierenden Parabel:

Figure 3: Seillinie (x) und Parabel im Intervall

[- 2, 2]

und

[- 4, 4]

resp.

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On 23 May 2005, 15:18.